Задачи связанные с математикой

Вписанные и центральные углы

      Определение 1. Центральным углом  называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами (рис. 1).

Вписанные и центральные углы

Рис. 1

      Определение 2. Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами (рис. 2).

Вписанные и центральные углы

Рис. 2

      Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

      Определение 3. Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Фигура

Рисунок

Теорема

Вписанный угол

Вписанные и центральные углы

      Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Посмотреть доказательство

Вписанный угол

Вписанные и центральные углы

      Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны

Вписанный угол

Вписанные и центральные углы

      Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вписанный угол

Вписанные и центральные углы

      Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанный угол

Вписанные и центральные углы

      Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Вписанные и центральные углы

  Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Посмотреть доказательство

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Фигура

Рисунок

Теорема

Формула

Угол, образованный пересекающимися хордами

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

      Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Посмотреть доказательство

Доказательство теоремы об угле между пересекающимися хордами

Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

      Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Доказательство теоремы об угле между секущими

Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

      Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Посмотреть доказательство

Доказательство теоремы об угле между касательной и хордой

Угол, образованный касательной и секущей

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

      Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Доказательство теоремы об угле между касательной и секущей

Угол, образованный двумя касательными к окружности

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

      Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Доказательство теоремы об угле между двумя касательными

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

      Теорема 1. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

      Доказательство. Рассмотрим сначала вписанный угол ABC, сторона BC которого является диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 5

      Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности, то треугольник AOB –  равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB . Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB, то справедливы равенства

Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах

      Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

      Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 6

      В этом случае справедливы равенства

Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах

и теорема 1 в этом случае доказана.

      Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 7

      В этом случае справедливы равенства

Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах

что и завершает доказательство теоремы 1.

      Теорема 2. Величина угла, образованного пересекающимися хордами,  равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 8.

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 8

      Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Доказательство теоремы об угле между пересекающимися хордами

что и требовалось доказать.

      Теорема 3. Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 9

      Нас интересует величина угла BED, образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD. Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE, а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Доказательство теоремы об угле между секущими

что и требовалось доказать.

      Теорема 4. Величина угла, образованного  касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 10.

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 10

      Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной  AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Доказательство теоремы об угле между касательной и хордой

что и требовалось доказать

      Теорема 5. Величина угла, образованного  касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 11

      Нас интересует величина угла BED, образованного касательной  AB и секущей CD. Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE, а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того,  углы DBE и DCB,  в силу теоремы 4,   равны. Поэтому справедливы равенства

Доказательство теоремы об угле между касательной и секущей

что и требовалось доказать.

      Теорема 6.Величина угла, образованного  двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 12.

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 12

      Нас интересует величина угла BED, образованного касательными  AB и CD. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют   π  радиан. Поэтому справедливо равенство

α = π – γ .

      Далее получаем

Доказательство теоремы об угле между двумя касательными

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Источник: http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/cangle.htm



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке Выкройки худых кукол

Задачи связанные с математикой Задачи связанные с математикой Задачи связанные с математикой Задачи связанные с математикой Задачи связанные с математикой Задачи связанные с математикой

Похожие новости