Закрыть ... [X]

Как работа связана с импульсом

Импульс. Работа. Энергия

Введение

Решение механических задач часто облегчается применением законов изменения и сохранения импульса и энергии тела или системы тел. Особенно эффективным является применение этих законов в случаях, когда действующие на тела силы или ускорения тел переменны во времени и непосредственное решение уравнений динамики с помощью методов «школьной» математики затруднительно (или вовсе невозможно).

Напомним, что импульсом тела (материальной точки) массы m, движущегося со скоростью \stackrel{\rightarrow}{v} называется векторная физическая величина \stackrel{\rightarrow}{p}, равная произведению массы тела на его скорость: \stackrel{\rightarrow}{p} = m \stackrel{\rightarrow}{v}.

Приращение {\Delta}{\stackrel{\rightarrow}{p}} импульса тела за малый промежуток времени {\Delta}{t} равно импульсу силы \stackrel{\rightarrow}{F}, действующей на тело, {\Delta}{\stackrel{\rightarrow}{p}} = \stackrel{\rightarrow}{F} {\Delta}{t} ()

Если на тело действуют несколько сил, то под \stackrel{\rightarrow}{F} надо понимать их равнодействующую. Если сила \stackrel{\rightarrow}{F} постоянна (не изменяется во времени), то по указанной формуле можно определить приращение импульса тела за любой, уже необязательно малый, промежуток времени {\Delta}{t} = \tau: \stackrel{\rightarrow}{p}_{кон} - \stackrel{\rightarrow}{p}_{нач} = \stackrel{\rightarrow}{F} \tau.

Напомним также, что здесь и далее, если специально не оговорено обратное, под телом или системой тел мы понимаем материальную точку или систему материальных точек соответственно, а модуль векторной величины обозначаем той же буквой, что и саму величину, но без стрелки над ней. Кроме того, все понятия, законы и явления, рассматриваемые здесь, мы будем, как и прежде, излагать в инерциальных системах отсчёта.

§1. Импульс системы тел и его изменение.

Определение 1. Импульсом \stackrel{\rightarrow}{p} системы тел называется векторная сумма импульсов отдельных тел, составляющих эту систему: \stackrel{\rightarrow}{p} = \stackrel{\rightarrow}{p}_1 + \stackrel{\rightarrow}{p}_2 + \dots + \stackrel{\rightarrow}{p}_n = \sum\limits^{n}_{i=1}\stackrel{\rightarrow}{p}_i

ПРИМЕР 1. Пусть система состоит из трёх тел с импульсами \stackrel{\rightarrow}{p}_1, \stackrel{\rightarrow}{p}_2 и \stackrel{\rightarrow}{p}_3; \stackrel{\rightarrow}{p}_1 {\uparrow}{\downarrow} \stackrel{\rightarrow}{p}_3, \stackrel{\rightarrow}{p}_2 \perp \stackrel{\rightarrow}{p}_1 (рис. 1). Тогда импульс \stackrel{\rightarrow}{p} такой системы равен \stackrel{\rightarrow}{p} = \stackrel{\rightarrow}{p}_1 + \stackrel{\rightarrow}{p}_2 + \stackrel{\rightarrow}{p}_3 и направлен под углом \alpha к направлению импульса первого тела, причём \tg \alpha = \frac{p_{1} - p_{3}}{p_2}

Модуль импульса системы равен p = \sqrt{(p_1 - p_3)^2 + p_2^2}.

Рассмотрим систему тел, взаимодействующих друг с другом и с внешними телами. Для простоты ограничимся системой из трёх тел (рис. 2). Пусть \stackrel{\rightarrow}{F}_1\stackrel{\rightarrow}{F}_2 и \stackrel{\rightarrow}{F}_3 - внешние силы, действующие соответственно на первое, второе и третье тела системы со стороны внешних тел (тел, не входящих в рассматриваемую систему). Пусть далее \stackrel{\rightarrow}{F}_{1,2} - сила, действующая на первое тело со стороны второго, \stackrel{\rightarrow}{F}_{1,3} - сила, действующая на первое тело со стороны третьего. Аналогично определим силы \stackrel{\rightarrow}{F}_{2,1}, \stackrel{\rightarrow}{F}_{2,3}, \stackrel{\rightarrow}{F}_{3,1} и \stackrel{\rightarrow}{F}_{3,2}. Вообще \stackrel{\rightarrow}{F}_{i,j} - сила, действующая на i-е тело со стороны j-го.

Применяя закон изменения импульса () для каждого тела системы, запишем уравнения: \begin{cases} (\stackrel{\rightarrow}{F}_1 + \stackrel{\rightarrow}{F}_{1,2} + \stackrel{\rightarrow}{F}_{1,3}) \cdot {\Delta}{t} = \stackrel{\rightarrow}{p}_{1к} - \stackrel{\rightarrow}{p}_{1н}\ (\stackrel{\rightarrow}{F}_2 + \stackrel{\rightarrow}{F}_{2,1} + \stackrel{\rightarrow}{F}_{2,3}) \cdot {\Delta}{t} = \stackrel{\rightarrow}{p}_{2к} - \stackrel{\rightarrow}{p}_{2н}\ (\stackrel{\rightarrow}{F}_3 + \stackrel{\rightarrow}{F}_{3,1} + \stackrel{\rightarrow}{F}_{3,2}) \cdot {\Delta}{t} = \stackrel{\rightarrow}{p}_{3к} - \stackrel{\rightarrow}{p}_{3н} \end{cases}

Складывая эти уравнения почленно и частично группируя слагаемые, стоящие в правых частях уравнений, получим (\stackrel{\rightarrow}{F}_1 + \stackrel{\rightarrow}{F}_2 + \stackrel{\rightarrow}{F}_3 + \stackrel{\rightarrow}{F}_{1,2} + \stackrel{\rightarrow}{F}_{2,1} + \stackrel{\rightarrow}{F}_{3,1} + \stackrel{\rightarrow}{F}_{1,3} + \stackrel{\rightarrow}{F}_{2,3} + \stackrel{\rightarrow}{F}_{3,2}) {\Delta}{t} =\= (\stackrel{\rightarrow}{p}_{1к} + \stackrel{\rightarrow}{p}_{2к} + \stackrel{\rightarrow}{p}_{3к}) - (\stackrel{\rightarrow}{p}_{1н} + \stackrel{\rightarrow}{p}_{2н} + \stackrel{\rightarrow}{p}_{3н})

По третьему закону Ньютона для сил взаимодействия тел системы имеем: \stackrel{\rightarrow}{F}_{1,2} = -\stackrel{\rightarrow}{F}_{2,1}, \stackrel{\rightarrow}{F}_{3,1} = -\stackrel{\rightarrow}{F}_{1,3}, \stackrel{\rightarrow}{F}_{2,3} = -\stackrel{\rightarrow}{F}_{3,2} и, следовательно, \stackrel{\rightarrow}{F}_{1,2} + \stackrel{\rightarrow}{F}_{2,1} = \stackrel{\rightarrow}{F}_{3,1} + \stackrel{\rightarrow}{F}_{1,3} = \stackrel{\rightarrow}{F}_{2,3} + \stackrel{\rightarrow}{F}_{3,2} = 0.

Тогда имеем:\stackrel{\rightarrow}{F} \cdot {\Delta}{t} = \stackrel{\rightarrow}{p}_к - \stackrel{\rightarrow}{p}_н,

где \stackrel{\rightarrow}{F} = \stackrel{\rightarrow}{F}_1 + \stackrel{\rightarrow}{F}_2 + \stackrel{\rightarrow}{F}_3 - сумма внешних сил, действующих на систему, \stackrel{\rightarrow}{p}_к = \stackrel{\rightarrow}{p}_{1к} + \stackrel{\rightarrow}{p}_{2к} + \stackrel{\rightarrow}{p}_{3к} - конечный импульс системы тел (по определению), \stackrel{\rightarrow}{p}_н = \stackrel{\rightarrow}{p}_{1н} + \stackrel{\rightarrow}{p}_{2н} + \stackrel{\rightarrow}{p}_{3н} - начальный импульс системы тел (по определению).

Обозначив разность \stackrel{\rightarrow}{p}_к - \stackrel{\rightarrow}{p}_н через {\Delta}{\stackrel{\rightarrow}{p}}, получим окончательно {\Delta}{\stackrel{\rightarrow}{p}} = \stackrel{\rightarrow}{F} \cdot {\Delta}{t} (1)

Аналогичные рассуждения можно провести для систем, состоящих из произвольного количества тел, и убедиться в справедливости (1) в каждом случае.

Таким образом, приращение импульса системы тел равно импульсу суммы всех внешних сил, действующих на систему.

Мы видим, что изменение импульса системы тел обусловлено действием только внешних сил (т.е. сил, действующих со стороны тел, не входящих в систему), а внутренние силы, какой бы природы они ни были, импульс системы изменить не могут.

Кроме того, приращение импульса системы тел сонаправлено с вектором суммарной  внешней силы \stackrel{\rightarrow}{F}.

ПРИМЕР 2. Два груза массами m_1 и m_2, соединённые лёгкой упругой пружиной, висят на нити (рис. 3а). В некоторый момент нить аккуратно перерезают. Чему равно приращение импульса системы тел «грузы + пружина» за время {\Delta}{t} после перерезания нити? Сопротивлением воздуха пренебречь.

РЕШЕНИЕ. После перерезания нити указанная система тел начинает свободно падать. Силы взаимодействия грузов и пружины являются для рассматриваемой системы внутренними силами и импульс системы изменить не могут. На грузы также действуют силы тяжести со стороны Земли (рис. 3б), которые для системы являются внешними  (т.к. Земля в рассматриваемую систему не входит и, следовательно, является внешним телом). Силой тяжести пружины пренебрегаем, т.к. по условию пружина лёгкая (т.е. её массу можно считать равной нулю).

В соответствии с (1) для приращения импульса системы тел можно записать {\Delta}{\stackrel{\rightarrow}{p}} = (m_1 \stackrel{\rightarrow}{g} + m_2 \stackrel{\rightarrow}{g}) \cdot {\Delta}{t}

Таким образом вектор {\Delta}{\stackrel{\rightarrow}{p}} равен по модулю {\Delta}{p} = (m_1 + m_2) g \cdot {\Delta}{t} и направлен вертикально вниз (в сторону суммарной силы тяжести).

§2. Законы сохранения импульса тела и системы тел.

Сказанное позволяет сформулировать законы сохранения импульса тела и системы тел. Действительно, в случаях, когда правые части уравнений () и (1) можно считать равными нулю, то и приращения импульса тела и импульса системы тел соответственно будут также равны нулю. Это означает, что в таких случаях указанные импульсы будут оставаться неизменными, то есть сохраняться.

Закон сохранения импульса тела: импульс тела сохраняется, если импульс равнодействующей всех сил, действующих на это тело, равен нулю. Это возможно в случаях, когда

  1. на тело не действуют силы вообще  или
  2. равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю,  или
  3. промежуток времени {\Delta}{t}, в течение которого мы наблюдаем за состоянием тела, очень  мал (стремится к нулю {\Delta}{t} \leftarrow 0), а равнодействующая всех сил, действующих на тело, ограничена по модулю (не бесконечно большая).

В первом пункте сформулированного закона речь идёт о так называемом свободном теле, которое будет покоиться или двигаться по инерции до тех пор, пока  воздействия со стороны других тел не выведут его из этого состояния (вспомните 1-й закон Ньютона). Второй пункт представляется очевидным, а ограничение модуля равнодействующей в третьем пункте необходимо для того, чтобы исключить случаи возникновения математической неопределённости произведения бесконечно больших и бесконечно малых величин (неопределённости типа \infty \cdot 0).

ПРИМЕР 3. Снаряд, летящий в воздухе, разрывается на несколько осколков. Сохраняется ли при взрыве импульс снаряда?

ОТВЕТ. Да, сохраняется. Действительно, на снаряд действуют сила тяжести со стороны Земли и сила сопротивления воздуха. Модули обеих сил имеют конкретные значения, зависящие от массы снаряда (для силы тяжести) и от скорости снаряда относительно воздуха (для силы сопротивления). Эти значения ограничены по величине. Следовательно, и равнодействующая этих сил ограничена по модулю. В свою очередь время взрыва мало (взрыв происходит «мгновенно»). Таким образом импульс снаряда при взрыве сохраняется.

Здесь полезно заметить, что в соответствии с определением 1 под импульсом снаряда после взрыва следует понимать суммарный импульс образовавшихся при взрыве осколков.

Закон сохранения импульса системы тел: импульс системы тел сохраняется при любых взаимодействиях тел системы, если импульс суммы всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю. Это возможно в случаях, когда

  1. внешние силы на систему не действуют  (т.е. тела системы взаимодействуют только между собой) или
  2. внешние силы на систему действуют, но их сумма равна нулю (силы взаимно уравновешиваются), или
  3. промежуток времени {\Delta}{t}, в течение которого мы наблюдаем за состоянием системы, очень мал (стремится к нулю {\Delta}{t} \leftarrow 0), а суммарная внешняя сила ограничена по модулю (не бесконечно большая).

Здесь в первом пункте речь идёт о системах, не взаимодействующих с внешними телами. Такие системы называются замкнутыми или изолированными. Конечно, это идеализация. В реальности у тел системы всегда будет присутствовать взаимодействие с другими телами, не входящими в систему. Однако если это взаимодействие не оказывает сколь-нибудь заметного влияния на состояние системы, то такую систему тел в большинстве случаев можно считать замкнутой.

Второй пункт представляется очевидным, а в третьем пункте, как и ранее, ограничение на модуль суммы внешних сил наложено с целью избежать неопределённости типа \infty \cdot 0.

ПРИМЕР 4. Человек массой m находится на узком плоту массой M, который покоится на поверхности озера. Человек совершил вдоль плота перемещение {\Delta}{\stackrel{\rightarrow}{r'}} относительно плота и остановился. Сопротивление воды пренебрежимо мало. Чему при этом будет равно соответствующее перемещение {\Delta}{\stackrel{\rightarrow}{r_п}} плота относительно берега?

РЕШЕНИЕ. На плот действуют сила тяжести, сила Архимеда и вес человека. На человека действует сила тяжести и сила реакции плота. Рассматривая систему тел «человек + плот», видим, что вес человека и сила реакции плота являются внутренними силами, силы тяжести человека и плота и сила Архимеда – внешними. Сумма внешних сил равна нулю, следовательно импульс системы меняться не будет, оставаясь равным нулю в процессе движения: m \stackrel{\rightarrow}{v_1} + M \stackrel{\rightarrow}{v_2} = 0, где \stackrel{\rightarrow}{v_1} и \stackrel{\rightarrow}{v_2} - скорости человека и плота относительно берега. Скорость человека относительно берега можно представить в виде \stackrel{\rightarrow}{v_1} = \stackrel{\rightarrow}{v_2} + \stackrel{\rightarrow}{v'}, где \stackrel{\rightarrow}{v'} - скорость человека относительно плота. Исключив \stackrel{\rightarrow}{v_1} из этих уравнений, получим \stackrel{\rightarrow}{v_2} = -\frac{m}{m + M} \stackrel{\rightarrow}{v'}

Умножив обе части на время {\Delta}{t} перемещения человека по плоту, найдём перемещение плота относительно берега: {\Delta}{\stackrel{\rightarrow}{r_п}} = - \frac{m}{m + M} {\Delta}{\stackrel{\rightarrow}{r'}}.

Знак «минус» показывает, что это перемещение происходит в направлении, противоположном направлению перемещения человека относительно плота.

ПРИМЕР 5. По горизонтальным рельсам прямолинейно катится вагон с песком общей массой M с постоянной скоростью \stackrel{\rightarrow}{v_1}. Сзади в вагон попадает небольшой снаряд массой m, летящий горизонтально в том же направлении со скоростью \stackrel{\rightarrow}{v_2}. Снаряд за малый промежуток времени пробивает заднюю стенку вагона, не разрываясь, и застревает в песке. С какой скоростью будет двигаться после этого вагон, если песок не высыпается? Трением колёс о рельсы и сопротивлением воздуха пренебречь.

РЕШЕНИЕ. На вагон со стороны Земли (опоры) действуют сила тяжести и сила нормальной реакции опоры. На снаряд со стороны Земли действует сила тяжести. Рассматривая систему тел «вагон с песком +снаряд», видим, что эти силы являются внешними (т.к. Земля в систему не входит). Модули этих сил имеют конкретные значения (не являющиеся бесконечно большими). Сам процесс пробивания снарядом стенки вагона и «застревания» в песке по условию происходит за малый промежуток времени {\Delta}{t} \rightarrow 0. При этом силы взаимодействия снаряда с вагоном и песком являются внутренними и импульс системы изменить не могут. Таким образом импульс системы «вагон с песком + снаряд» сохраняется.

До «контакта» снаряда с вагоном импульс системы был равен M \stackrel{\rightarrow}{v_1} + m \stackrel{\rightarrow}{v_2}, а после застревания снаряда в песке (M + m) \stackrel{\rightarrow}{v}, где \stackrel{\rightarrow}{v} - искомая скорость (снаряд находится внутри вагона и движется вместе с ним как единое целое со скоростью \stackrel{\rightarrow}{v}).

По закону сохранения импульса M \stackrel{\rightarrow}{v_1} + m \stackrel{\rightarrow}{v_2} = (M + m) \stackrel{\rightarrow}{v}.

Направим ось 0х горизонтально вдоль рельс в сторону движения и спроецируем написанное равенство на эту ось. Тогда для проекций получим M v_1 + m v_2 = (M + m) v.

Откуда v = \frac{M v_1 + m v_2}{M + m}.  Направление скорости совпадает с направлением скоростей \stackrel{\rightarrow}{v_1} и \stackrel{\rightarrow}{v_2}.

У незамкнутой системы сам импульс \stackrel{\rightarrow}{p} может не сохраняться, но может сохраняться его проекция p_x на некоторое направление ОX. Это бывает, когда

  1. внешние силы, действующие на систему, направлены перпендикулярно оси Ох или
  2. алгебраическая сумма проекций на ось Ох всех внешних сил, действующих на систему равна нулю, или
  3. промежуток времени {\Delta}{t}, в течение которого мы наблюдаем за состоянием системы, очень мал (стремится к нулю {\Delta}{t} \rightarrow 0), а алгебраическая сумма проекций на ось ОX всех внешних сил, действующих на тело, ограничена по модулю (не бесконечно большая).

ПРИМЕР 6. Кузнечик массой M сидит на конце соломинки длиной L, которая лежит на гладком горизонтальном полу. Кузнечик прыгает и попадает на другой конец соломинки (рис. 4а). С какой минимальной начальной скоростью относительно пола он должен прыгать, если масса соломинки m? Сопротивлением воздуха пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Направим ось 0Y вертикально вверх, а ось 0X – горизонтально вдоль соломинки по направлению прыжка кузнечика (рис. 4б). Обозначим начальную скорость кузнечика относительно пола через \stackrel{\rightarrow}{v_0}, а угол, который она составляет с горизонтом через \alpha. Проекции этой скорости на координатные оси соответственно равны v_{Oy} = v_0 \sin \alpha и v_{Ox} = v_0 \cos \alpha.

Рассмотрим систему «кузнечик + соломинка». На тела системы внешние силы действуют лишь вдоль вертикального направления, то есть направлены перпендикулярно оси 0X. Отсюда следует, что проекция на ось 0X импульса системы сохраняется и остаётся равной нулю. Тогда можно записать: M v_0 \cos \alpha + m v_{1x} = 0, где v_{1x} - проекция на ось 0х скорости \stackrel{\rightarrow}{v_1}, которую приобрела соломинка относительно пола сразу после прыжка кузнечика. Отсюда видно, что v_{1x} = -\frac{M}{m} v_0 \cos \alpha. Знак «минус» указывает, что соломинка получает скорость, направленную противоположно оси 0х, а модуль скорости равен v_1 = \frac{M}{m} v_0 \cos \alpha.

Заметим, что в направлении оси 0Y проекция импульса системы не сохраняется, так как в момент отрыва кузнечика от соломинки у него появляется проекция скорости v_{oy}, которой до этого не было. Следовательно, возникает проекция p_y импульса системы на ось 0Y, равная M v_0 \sin \alpha. В дальнейшем при «полёте» кузнечика значение p_y изменяется из-за действия силы тяжести.

Далее по формулам кинематики время полёта кузнечика равно \tau = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}, а дальность прыжка кузнечика (вдоль оси 0х) l = \frac{v_0^2 \sin 2 \alpha}{g}.

За время \tau соломинка переместится по полу на расстояние v_1 \tau в сторону, противоположную оси 0х (рис. 4б). Чтобы кузнечик «не промахнулся» и точно попал на другой конец соломинки, очевидно должно выполняться условие: l + v_1 \tau = L

С учётом выражений для l,v_1 и v_1 имеем \frac{v_0^2 \sin 2 \alpha}{g} + \frac{M}{m} v_0 \cos \alpha \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g} = L

Откуда находим v_0 = \sqrt{\frac{m g L}{(M + m) \sin 2 \alpha}}

Видим, что модуль скорости кузнечика относительно пола минимален, когда максимален знаменатель дроби полученного выражения. Как известно, максимальное значение синуса равно 1. Итак \sin 2 \alpha = 1, \alpha = 45^\circ и v_{0min} = \sqrt{\frac{m g L}{M + m}}.

§3. Центр масс системы тел

Часто при решении задач бывает удобно воспользоваться понятием центра масс системы тел.

Определение 2. Центром масс системы тел называется точка С, радиус-вектор которой определяется по формуле

\stackrel{\rightarrow}{r_c} = \frac {m_1 \stackrel{\rightarrow}{r_1} + m_2 \stackrel{\rightarrow}{r_2} + \dots + m_n \stackrel{\rightarrow}{r}_n} {m_1 + m_2 + \dots + {m}_n} = \frac {1}{M} \sum\limits^{n}_{i=1} m_i \stackrel{\rightarrow}{r_i} (2)

Здесь  m_i - масса i-го тела системы, M = m_1 + m_2 + \dots + m_n - суммарная масса системы тел,  \stackrel{\rightarrow}{r_c} - радиус-вектор центра масс (рис.5), \stackrel{\rightarrow}{r_i} - радиус-вектор i-го тела системы.

Аналогично определяется центр масс тела в случаях, когда при решении задачи это тело нельзя считать материальной точкой. Тогда обычно поступаю так. Мысленно «разбивают» тело на множество сколь угодно малых частей, каждую из которых уже можно считать материальной точкой, и рассматривают данное тело как систему из полученных материальных точек. При этом в определении центра масс под величиной  M          надо понимать массу всего тела, которая, естественно, равна сумме масс его частей.

Можно показать, что

  1. положение точки С относительно тела не зависит от выбора начала отсчёта системы координат,
  2. центр масс однородного центральносимметричного тела совпадает с его центром симметрии,
  3. центр масс однородного осесимметричного тела лежит на оси симметрии тела,
  4. в однородном поле тяжести (например вблизи поверхности Земли) центр масс тела совпадает с его центром тяжести,
  5. иногда при решении задач можно мысленно сосредоточить в центре масс всю массу тела и, считая тело материальной точкой, применять законы механики для материальной точки.

Полезно также знать, что центр масс треугольной пластины постоянной пренебрежимо малой толщины лежит на пересечении медиан соответствующего треугольника, а центр масс системы двух материальных точек массами m и M (рис.6) располагается на отрезке, их соединяющем, в точке С, отстоящей от m на расстояние d=\frac{M l}{M + m}, где l - длина соединяющего материальные точки отрезка. В этом легко убедиться, напрямую воспользовавшись  приведённым выше определением центра масс.

Для нахождения центра масс системы нескольких тел, которые нельзя считать материальными точками, можно, следуя описанной выше процедуре, найти центры масс каждого из тел, а затем заменить тела материальными точками, сосредоточив массы тел в их центрах масс, и найти центр масс системы этих материальных точек.

ПРИМЕР 7. На столе лежат постоянной толщины  плоский диск массой  M=0.4кг и треугольная пластина  массой  m=0.2кг (рис. 7а). Расстояние между геометрическим центром A  диска и точкой B  пересечения медиан треугольной пластины равно l=0.9кг . На каком расстоянии от центра A диска находится центр масс данной системы тел?

РЕШЕНИЕ. Центры масс диска и треугольной пластины находятся в точках A и B соответственно. Центр масс такой системы совпадает с центром масс системы материальных точек с массами M  и  m, помещённых в точки A  и B (рис. 7б).

Пусть \stackrel{\rightarrow}{r_1}\stackrel{\rightarrow}{r_2} и \stackrel{\rightarrow}{r_c} - радиус-векторы точек AB и  C соответственно. Тогда положения этих точкек относительно точки  C характеризуется радиус-векторами

\stackrel{\rightarrow}{r_1'}=\stackrel{\rightarrow}{r_1}+\stackrel{\rightarrow}{r_c}

\stackrel{\rightarrow}{r_2'}=\stackrel{\rightarrow}{r_2}-\stackrel{\rightarrow}{r_c}

После подстановки в эти равенства согласно (2) выражения \stackrel{\rightarrow}{r_c}=\frac{M \stackrel{\rightarrow}{r_1} + m \stackrel{\rightarrow}{r_2}}{M + m} получим:

\stackrel{\rightarrow} {r_1'}=M(\stackrel{\rightarrow}{r_1} - \stackrel{\rightarrow}{r_2})

\stackrel{\rightarrow} {r_1'} = m (\stackrel{\rightarrow}{r_2} - \stackrel{\rightarrow} {r_1})

Отсюда следует, что векторы  \stackrel{\rightarrow}{r_1'}  и  \stackrel{\rightarrow}{r_2'}   коллинеарны и противоположно направлены ( \stackrel{\rightarrow}{r_1'} {\uparrow}{\downarrow} \stackrel{\rightarrow}{r_2'} ), следовательно точка C лежит на прямой, проходящей через материальные точки A и  B . Кроме того, модули этих векторов, то есть расстояния  d_1 = A C и  d_2 = C B обратно пропорциональны массам соответствующих материальных точек: \frac{d_1}{d_2} = \frac{m}{M}

Отсюда, учитывая, что d_1 + d_2 = l , находим искомое расстояние от центра A  диска до центра масс данной системы: d_1 = \frac{m}{M + m}l=30см

§4. Теорема о движении центра масс

По определению 2 радиус-вектор \stackrel{\rightarrow}{r_c} центра масс С системы тел в произвольный момент времени t задаётся уравнением: \stackrel{\rightarrow}{r_c} = \frac{1}{M} \sum\limits^{n}_{i=1} m_i \stackrel{\rightarrow}{r_i} , где M = \sum\limits^{n}_{i=1} m_i - масса системы (сумма масс тел системы).

Через малый промежуток времени {\Delta}t радиус-вектор этой точки будет равен \stackrel{\rightarrow}{r_c'} = \frac{1}{M} \sum\limits^{n}_{i=1} m_i \stackrel{\rightarrow}{r_i'} . Вычитая из второго уравнения первое, получим  {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{r_c} = \frac{1}{M} \sum\limits^{n}_{i=1} m_i {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{r_i}

Если умножить обе части уравнения на M , то оно примет вид M {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{r_c} = \frac{1}{M} \sum\limits^{n}_{i=1} m_i {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{r_i} .

Разделим обе части на малую, но всё же отличную от нуля, величину {\Delta} t:  M \frac {{\Delta}\stackrel{\rightarrow}{r_c}}{{\Delta} t} = \sum\limits^{n}_{i=1} m_i \frac {{\Delta} \stackrel{\rightarrow} {r_i}}{{\Delta} t}

Учитывая, что \frac{{\Delta} \stackrel{\rightarrow}{r_i}}{{\Delta}t} = \stackrel{\rightarrow} {v_i} - скорость i -го тела (материальной точки) системы, а  \frac{{\Delta} \stackrel{\rightarrow}{r_c}}{{\Delta}t} = \stackrel{\rightarrow} {v_c} - скорость точки С (центра масс системы), имеем: M \stackrel{\rightarrow}{v_c} = \sum\limits^{n}_{i=1} m_i \stackrel{\rightarrow}{v_i}

В правой части полученного уравнения стоит импульс рассматриваемой системы тел (по определению). Таким образом мы получили, что импульс системы тел равен произведению массы системы на скорость её центра масс: \stackrel{\rightarrow}{P} = M \stackrel{\rightarrow}{v_c}

Рассуждая аналогичным образом, получим, что приращение импульса системы тел за малый промежуток времени  {\Delta} t  равно произведению массы системы на приращение скорости центра масс: {\Delta}\stackrel{\rightarrow}{P} = M {\Delta}\stackrel{\rightarrow}{v_c}

Учитывая уравнение (1), можно записать \stackrel{\rightarrow}{F} {\Delta} t = M {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{v_c}, где \stackrel{\rightarrow}{F} - векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему.

Разделив обе части (3’) на {\Delta} t и учитывая, что величина \frac{{\Delta} \stackrel{\rightarrow}{r_c}}{{\Delta}t} равна ускорению точки С, получим M \stackrel{\rightarrow}{a_c} = \stackrel{\rightarrow}{F}.

Таким образом можно сформулировать теорему о движении центра масс: в инерциальной системе отсчёта центр масс системы тел (материальных точек) движется так, как двигалось бы тело (материальная точка), масса которого равна массе системы, под действием силы, равной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Иногда эту теорему называют вторым законом Ньютона для системы тел.

Рассмотрим применение теоремы о движении центра масс на практике. В частности покажем, как можно иначе решить задачу с человеком на плоту (см. Пример 4), если воспользоваться понятием центра масс и указанной теоремой.

ПРИМЕР 8. Человек массой m находится на узком плоту массой M , который покоится на поверхности озера. Человек совершил вдоль плота перемещение {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{r'}относительно плота и остановился. Сопротивление воды пренебрежимо мало. Чему при этом будет равно соответствующее перемещение {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{r_п'} плота относительно берега?

РЕШЕНИЕ. Так как сопротивление воды пренебрежимо мало, то сумма всех внешних сил, действующих на систему «человек + плот» равна нулю. По теореме о движении центра масс это означает, что ускорение центра масс данной системы равно нулю, и, следовательно, положение центра масс системы в процессе движения человека (и плота) как работа связана с импульсом меняться не будет (т.к. в начальный момент по условию плот и человек покоились). Тогда в соответствии с (2) имеем: m \stackrel{\rightarrow}{r} + M \stackrel{\rightarrow}{r_п} = const, где \stackrel{\rightarrow}{r} и  \stackrel{\rightarrow}{r_п}  - радиус-векторы, характеризующие положения центров масс человека и плота относительно некоторой точки берега. Из этого равенства найдём связь между приращениями векторов \stackrel{\rightarrow}{r} и  \stackrel{\rightarrow}{r_п}  за промежуток времени {\Delta} t: m {\Delta}\stackrel{\rightarrow}{r} + M {\Delta}\stackrel{\rightarrow}{r_п} = 0

Имея в виду, что приращения  {\Delta}\stackrel{\rightarrow}{r}   и  {\Delta}\stackrel{\rightarrow}{r_п}  представляют собой перемещения человека и плота соответственно относительно берега, причём  {\Delta}\stackrel{\rightarrow}{r} = {\Delta}\stackrel{\rightarrow}{r_п} +{\Delta}\stackrel{\rightarrow}{r'} , найдём перемещение плота {\Delta}\stackrel{\rightarrow}{r_п} = - \frac {m}{M + m}{\Delta}\stackrel{\rightarrow}{r'}

ПРИМЕР 9. Однородный стержень длины l нижним концом касается гладкой горизонтальной поверхности. Верхний конец стержня подвешен на нити так, что стержень образует с горизонтальной плоскостью угол \alpha (рис. 8а). Нить пережигают. В какую сторону и на сколько сместится нижний конец стержня, когда он упадёт?

РЕШЕНИЕ. Так как в горизонтальном направлении на стержень  никакие силы не действуют, то его центр масс будет двигаться вертикально вниз, как материальная точка, масса которой равна массе стержня, падающая без начальной скорости.

Центр масс однородного стержня находится посередине стержня на расстоянии \frac {l}{2} от любого из его концов. С учётом этого в момент падения нижний конец стержня сместится влево на расстояние x (рис. 8б), равное x = \frac {l}{2} -\frac {l}{2} \cos \alpha = \frac {l}{2} (1 - \cos \alpha) = \frac {l}{2} 2 \sin^2 \frac {\alpha}{2} = l \sin^2 \frac {\alpha}{2}

ПРИМЕР 10. Человек прыгает с вышки в воду с начальной скоростью, составляющей некоторый угол с горизонталью. Движение прыгуна в общем случае имеет весьма сложный характер. Однако если сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то можно сразу утверждать, что центр масс прыгуна движется по параболе, как материальная точка, на которую действует постоянная сила тяжести m \stackrel{\rightarrow}{g} , где m - масса человека.

При доказательстве теоремы о движении центра масс было получено важное утверждение, записанное в виде уравнения (3). С его помощью, зная массу системы тел и скорость её центра масс, можно установить, чему равен импульс системы, не складывая импульсы отдельных тел системы.

ПРИМЕР 11. Однородный обруч массы M вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости обруча и проходящей через его геометрический центр. Чему равен импульс обруча, если ось вращения неподвижна?

ОТВЕТ. Центр масс однородного обруча находится в его геометрическом центре. Эта точка по условию неподвижна, т.е. скорость центра масс обруча равна нулю \stackrel{\rightarrow}{v_c} = 0  . Таким образом импульс обруча  равен нулю: \stackrel{\rightarrow}{p} = M \stackrel{\rightarrow}{v_c} = 0.

ПРИМЕР 12. С горизонтальной поверхности земли бросили под углом \alpha = 60^\circ к горизонту со скоростью v_1 = 12 м/с комок сырой глины. Одновременно комок вдвое большей массы бросили с поверхности земли под углом \beta = 30^\circ к горизонту, причём начальные скорости комков оказались лежащими в одной вертикальной плоскости (рис. 9а). В результате столкновения комки слиплись. Найдите скорость (по модулю) упавшего на землю слипшегося комка. (МФТИ, 1984 г.)

РЕШЕНИЕ. Направим оси прямоугольной декартовой системы координат, как показано на рис. 9б. Начало отсчёта поместим в току бросания первого комка. Пренебрегая сопротивлением воздуха, для координат по оси 0у комков в произвольный момент времени  t полёта можно записать:

\begin{cases} y_1 = v_1 \sin \alpha - \frac{g t^2}{2} \ y_2 = v_2 \sin \beta - \frac{g t^2}{2} \end{cases}

В момент t_1 столкновения комков в полёте их координаты сравниваются y_1 = y_2, следовательно (v_1 \sin \alpha )t_1 - \frac{g t_1^2}{2} = (v_2 \sin \beta) t_1 - \frac{g t_1^2}{2}

Отсюда получаем, что v_2 = v_1 \frac {\sin \alpha}{\sin \beta}

Центр масс системы, состоящей из двух рассматриваемых комков, по теореме о движении центра масс будет двигаться аналогично телу, брошенному под углом к горизонту. Тогда скорость слипшегося комка непосредственно перед ударом о землю (искомая скорость) равна по модулю скорости центра масс системы комков в момент бросания. Обозначим эту скорость через \stackrel{\rightarrow}{v} и запишем уравнение (3) в проекциях на оси координат. Учитывая Определение 1, получим:

\begin{cases} m v_1 \cos \alpha - 2 m v_2 \cos \beta = 3 m v_x \ m v_1 \sin \alpha + 2 m v_2 \sin \beta = 3 m v_y \end{cases}

где v_x и v_y - проекции скорости центра масс системы комков на соответствующие оси координат, m - масса первого комка. По условию масса второго комка равна 2 m. Отсюда v = \sqrt{v^2_x + v_x^2} = \sqrt{(\frac{v_1 \cos \alpha - 2 v_2 \cos \beta}{3})^2 + (\frac{v_1 \sin \alpha + 2 v_2 \sin \beta}{3})^2}

Далее, учитывая полученное выше выражение, связывающее v_1 и v_2, найдём окончательно

v = v_1 \sqrt{\sin^2 \alpha + \frac{1}{9}(\cos \alpha \ctg \beta)^2} = \frac{\sqrt{13}}{3} v_1 =14м/c

ПРИМЕР 13. Две небольшие шайбы массами m_1 и m_2 связаны между собой лёгкой нерастяжимой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорость первой шайбы равна нулю, а второй - v, причём её направление перпендикулярно нити (рис. 10а). Найдите (по модулю) силу натяжения нити в процессе движения.

РЕШЕНИЕ. Поскольку трения нет, то сумма внешних сил, действующих на систему из двух шайб, равна нулю. Следовательно центр масс системы движется с постоянной скоростью \stackrel{\rightarrow}{v_c}. Перейдём в инерциальную систему отсчёта, связанную с центром масс системы шайб. В этой системе отсчёта шайбы движутся по окружностям радиусами l_1 и  l_2 соответственно вокруг центра масс С (рис. 10б), поэтому силу натяжения нити можно найти как T = \frac{m_1 (\stackrel{\rightarrow}{v_1'})^2} {l_1}, где \stackrel{\rightarrow}{v_1'}- скорость шайбы массой m_1 в выбранной системе отсчёта.

Величина l_1 равна (см. §3): l_1 = \frac{m_2} {m_1 + m_2} l

Далее, скорость  \stackrel{\rightarrow}{v_1'} = \stackrel{\rightarrow}{v_1} - \stackrel{\rightarrow}{v_c}. В нашем случае \stackrel{\rightarrow}{v_1} = 0. Кроме того по формуле (3) с учётом Определения 1 имеем: (m_1 + m_2) \stackrel{\rightarrow}{v_c} = m_2 \stackrel{\rightarrow}{v}. Откуда \stackrel{\rightarrow}{v_c} = \frac{m_2} {m_1 + m_2} \stackrel{\rightarrow}{v}

Поэтому модуль вектора \stackrel{\rightarrow}{v_1}  равен v_1 = v_c = \frac{m_2} {m_1 + m_2} v

Эта величина в процессе движения остаётся постоянной. Тогда с учётом выражения для l_1 получаем окончательно: T = \frac {m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac {v^2}{l}

§5. Работа силы. Мощность силы.

Изменение импульса тела (или системы тел) характеризует действие суммарной силы (или суммы внешних сил) в течение конкретного промежутка времени. Для характеристики действия силы на некотором перемещении служит физическая величина, называемая механической работой.

Пусть на прямолинейно движущееся тело действует постоянная сила \stackrel{\rightarrow}{F}. И пусть за время {\Delta} t тело совершило перемещение \stackrel{\rightarrow}{S}(рис. 11).

Определение 3. Работой A   постоянной силы \stackrel{\rightarrow}{F} на прямолинейном участке траектории называется величина, равная скалярному произведению вектора силы \stackrel{\rightarrow}{F} на вектор перемещения \stackrel{\rightarrow}{S} тела: A = \stackrel{\rightarrow}{F} \stackrel{\rightarrow}{S} (4)

Согласно определению скалярного произведения векторов \stackrel{\rightarrow}{F} \stackrel{\rightarrow}{S} = F S \cos \alpha , где      \alpha      - угол между векторами \stackrel{\rightarrow}{F}  и \stackrel{\rightarrow}{S}. Тогда можно записать: A = F S \cos \alpha = F_s S = S_f F , где  F_s = F \cos \alpha - проекция вектора \stackrel{\rightarrow}{F} на направление вектора \stackrel{\rightarrow}{S}, а S_f = S \cos \alpha проекция вектора\stackrel{\rightarrow}{S} на направление вектора силы \stackrel{\rightarrow}{F}.

По определению работы, она является скалярной величиной и понятие направления, следовательно к работе неприменимо.

В системе единиц СИ единицей измерения работы служит джоуль (Дж): [A] = H m = кг м/с^2 = Дж.

ПРИМЕР 14. Тело массой m = 2кг движется равномерно и прямолинейно вдоль горизонтальной поверхности. На тело действует сила F = 10 Н, направленная под углом \alpha = 60^\circ к горизонту. Коэффициент трения между телом и поверхностью равен \mu = 0.2. Какую работу совершат сила \stackrel{\rightarrow}{F}, сила тяжести, сила нормальной реакции опоры, сила трения скольжения, когда тело переместится на расстояние S = 1 м?

РЕШЕНИЕ. По определению работы получаем следующее. Работа силы  \stackrel{\rightarrow}{F} равна A = F S \cos \alpha = 5 Дж. Работа силы тяжести m \stackrel{\rightarrow}{g} и работа силы нормальной реакции опоры \stackrel{\rightarrow}{N} равны нулю, так как угол между направлением действия этих сил и направлением перемещения равен \alpha = 90^\circ (\cos \alpha = 0). Сила трения направлена в сторону, противоположную направлению движения. Угол между векторами \stackrel{\rightarrow}{F_тр} и \stackrel{\rightarrow}{S} равен \alpha = 180^\circ(\cos \alpha = -1). Следовательно, работа силы трения A_тр равна A_тр = - F_тр S = - \mu m g S = - 4 Дж.

Для работы можно дать наглядное графическое представление. Если отложить по оси абсцисс текущее положение S тела вдоль оси, совпадающей с прямой, по которой движется тело, а по оси ординат – значение проекции F_s, то в случае, когда F_s постоянна, график F_s(s) будет иметь вид прямой, параллельной оси абсцисс (рис. 12). Если тело совершает перемещение \stackrel{\rightarrow}{S}, то работа силы \stackrel{\rightarrow}{F}, определяемая произведением F_s S, будет численно равна площади прямоугольника со сторонами F_s и S.

Пусть теперь тело движется по некоторому, в общем случае криволинейному, участку траектории 1-2 (рис.13). Пусть также на тело действует сила \stackrel{\rightarrow}{F}, которая в общем случае в процессе движения может меняться как по модулю, так и по направлению. Мысленно разобьём траекторию движения тела на множество малых элементарных участков, в пределах каждого из которых проекцию силы на направление перемещения F_s можно считать постоянной (на разных участках – различной), а сами участки – прямолинейными. Рассмотрим малое перемещение {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{S} на любом одном из таких участков.

Определение 4. Элементарной работой {\Delta} A  силы \stackrel{\rightarrow}{F} на малом перемещении {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{S} называется величина, равная скалярному произведению векторов \stackrel{\rightarrow}{F} и {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{S}.

И вновь, как и прежде, можно написать: {\Delta} A = \stackrel{\rightarrow}{F} {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{S} = F {\Delta} S \cos \alpha = F_s {\Delta} S = F {\Delta} S_f (5)

где \alpha - угол между векторами \stackrel{\rightarrow}{F} и {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{S}F_s - проекция силы \stackrel{\rightarrow}{F} на направление вектора  {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{S}{\Delta} S_p - проекция вектора {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{S} на направление  \stackrel{\rightarrow}{F}.

Определение 5. Работой A силы \stackrel{\rightarrow}{F} на всём участке траектории 1-2 называется величина, равная алгебраической сумме элементарных работ (5), совершаемых этой силой на каждом из элементарных участков.

Таким образом можно записать: A = {\Delta}A_1 + {\Delta}A_2 + \dots + {\Delta}A_n = \sum\limits^{n}_{i=1} {\Delta} A_i (6)

где {\Delta} A_i - элементарная работа силы \stackrel{\rightarrow}{F} на  i -м элементарном участке.

Выражению (6) можно придать наглядный геометрический смысл. Рассматривая F_s как функцию положения тела на траектории, т.е. функцию дуговой координаты S, изобразим её график F_s(s). Пусть, например, этот график имеет вид, представленный на рис. 14. Элементарная работа {\Delta} A_i будет численно равна площади заштрихованного «столбика» (прямоугольника со сторонами {\Delta} S_i и {\Delta} F_s_i ), а работа на всём участке траектории от точки 1 до точки 2 будет равна алгебраической сумме площадей таких «столбиков» для всех элементарных участков, причём площади столбиков над осью  0S берутся со знаком «плюс» (они соответствуют положительной работе), а площади под осью 0S – со знаком «минус» (они соответствуют отрицательной работе). Таким образом работа силы \stackrel{\rightarrow}{F} на всём участке траектории равна разности площадей фигуры 1АЕ над осью абсцисс и фигуры ЕВ2 под осью абсцисс.

ПРИМЕР 15. Пружина жесткости k, прикреплённая одним концом к стене, а другим к грузу, лежащему на гладком горизонтальном столе, расположена горизонтально и сжата. Деформация пружины равна x. Найти работу, которую совершит сила упругости по перемещению груза в процессе перехода пружины в недеформированное состояние (рис. 15а).

РЕШЕНИЕ. В первоначальном положении, когда пружина сжата на величину x, сила упругости, действующая на груз равна F_y = k x. Если под действием пружины груз переместился на расстояние S, то деформация пружины уменьшилась на величину S и соответствующая сила упругости F_y стала равна F_y = k(x - S).

Построив график зависимости F_s(s)  в соответствии с этим выражением (рис. 15б) получим отрезок прямой, проходящей через точки с координатами (0;k x )  и  (x;0), и искомая работа будет равна площади заштрихованного треугольника: A_у_п_р = \frac{1}{2} k x x = \frac {k x^2}{2}

В дополнение к сказанному следует особо отметить, что если та или иная сила совершает работу, это не означает, что тело движется благодаря именно этой силе. В реальных ситуациях на тело действуют несколько сил (порой, много), и  движение тела обусловлено совместным действием всех сил. При этом работа отдельных сил как правило различна. Чтобы в этом убедиться, достаточно вернуться к Примеру 14. Однако часто бывает нужно знать общую работу всех (либо части сил), действующих на тело. Тогда в общем случае для n сил их общая работа A равна алгебраической сумме механических  работ каждой из сил в отдельности:

A = A_1 + A_2 + \dots + A_n = \sum\limits^{n}_{i=1} A_i

И ещё. Если мы имеем дело не с материальной точкой, а с твёрдым телом или системой тел, то данные выше определения 3 и 4  остаются справедливыми, но в этом случае надо только иметь в виду, что под \stackrel{\rightarrow}{S} и {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{S} надо понимать соответствующие перемещения точки приложения силы. Игнорирование этого обстоятельства зачастую приводит к ошибочным результатам.

Пусть за промежуток времени {\Delta} t сила \stackrel{\rightarrow}{F}, приложенная к телу, совершает работу {\Delta} A .

Определение 6. Средней мощностью N_{ср}, развиваемой силой \stackrel{\rightarrow}{F} за промежуток времени {\Delta} t , называется величина равная N_с_р = \frac {{\Delta} A}{{\Delta} t}(7)

С учётом (5) можно записать N_с_р = \frac {\stackrel{\rightarrow}{F} {\Delta} \stackrel{\rightarrow} {S}}{{\Delta} t} = \stackrel{\rightarrow}{F} \frac {{\Delta} \stackrel{\rightarrow} {S}}{{\Delta} t}

Устремляя в полученном равенстве величину {\Delta} t к нулю ( {\Delta} t \rightarrow 0  ), получим вместо \frac{{\Delta} \stackrel{\rightarrow} {S}}{{\Delta} t} мгновенную скорость \stackrel{\rightarrow} {v} тела (скорость тела в данный момент времни).

Определение 7. Мгновенной мощностью силы \stackrel{\rightarrow}{F} называется величина, равная скалярному произведению вектора силы \stackrel{\rightarrow}{F}  и вектора мгновенной скорости \stackrel{\rightarrow}{v} тела, к которому приложена эта сила.

N = \stackrel{\rightarrow}{F} \stackrel{\rightarrow}{v}(8)

При этом характер зависимости силы \stackrel{\rightarrow}{F(t)} от времени может быть совершенно произвольным.

Единицей измерения мощности в системе СИ служит ватт (Вт): [N] = \frac {[A]}{[{\Delta} t]} = [F] [v] = кг м^2/c^2

ПРИМЕР 16. Человек тянет санки по снегу с постоянной силой F = 5 Н, направленной под углом \alpha = 30^\circ к горизонту. При этом санки движутся по прямолинейному горизонтальному участку пути и за 1 минуту совершают перемещение  {\Delta} S = 30 м . Какова мощность силы, прикладываемой мальчиком?

РЕШЕНИЕ. Мы можем подсчитать работу {\Delta} A силы \stackrel{\rightarrow} {F}, на перемещении {\Delta} \stackrel{\rightarrow} {S} по формуле (4). Эта работа, согласно условию, будет совершена за время {\Delta} t = 60 c . В вопросе, таким образом, подразумевается средняя мощность, развиваемая силой F за время {\Delta} t. Но тогда по формуле (7) получаем: N = \frac{{\Delta} A}{{\Delta} t} = \frac {\stackrel{\rightarrow} {F} {\Delta} S \cos \alpha}{{\Delta} t} = 21.7 Вт

ПРИМЕР 17. Камень массы m бросили с поверхности земли под углом \beta к горизонту с начальной скоростью v_0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите мощность силы тяжести камня через t секунд после начала движения.

РЕШЕНИЕ. Поскольку требуется определить мощность силы тяжести в конкретный момент времени, то речь идёт о мгновенной мощности, для вычисления которой применима формула (8). Из кинематики известно, что скорость камня через t секунд после броска равна \stackrel{\rightarrow} {v(t)} = \stackrel{\rightarrow}{v_0} + \stackrel{\rightarrow}{g} t . С учётом этого по формуле (8) имеем:

N = m \stackrel{\rightarrow}{g} \stackrel{\rightarrow}{v} = m \stackrel{\rightarrow}{g} (\stackrel{\rightarrow}{v_0} + \stackrel{\rightarrow}{g} t}) = m \stackrel{\rightarrow}{g} \stackrel{\rightarrow}{v_0} + m \stackrel{\rightarrow}{g} \stackrel{\rightarrow}{g} t = m(-g v_0 \sin \beta +g^2 t)

Здесь учтено, что  \stackrel{\rightarrow}{g} \stackrel{\rightarrow}{g} = g^2  , а угол между векторами  \stackrel{\rightarrow}{g}  и   \stackrel{\rightarrow}{v_0}  равен  \alpha = \frac {\pi}{2} +\beta  и  \cos \alpha = - \sin \beta(рис.16).  Таким образом N = m g (g t - v_0 \sin \beta)

Развитие технического прогресса привело к созданию огромного числа машин и механизмов, действие которых также принято характеризовать мощностью. В этом случае мощность представляет собой величину работы, которую совершает или может совершить та или иная машина в единицу времени. Но с другой стороны в нашем рассмотрении работу совершают конкретные силы, а не отвлечённые машины и механизмы. В связи с этим при решении задач во избежание недопонимания надо прежде всего выяснить, какие силы совершают работу в каждом конкретном случае и лишь затем применять понятие мощности машины или механизма, понимая под ней суммарную мощность этих сил.

ПРИМЕР 18. Машина в течение получаса совершает над телом работу, равную 10^5Дж. Чему равна средняя мощность, развиваемая этой машиной?

РЕШЕНИЕ. Здесь под мощностью машины понимается суммарная мощность всех сил, действующих на тело со стороны машины. Эти силы совершают указанную в условию суммарную работу {\Delta} A = 10^5Дж в течение промежутка времени {\Delta} t = 0.5 ч. = 1.8 10^3 с.

Средняя мощность машины по формуле (7) равна N_ср = \frac {{\Delta} A}{{\Delta} t} = 56 Вт

Часто при решении задач, связанных с работой машин и механизмов, используется понятие полезной мощности, которая равна N = N' - {\Delta} N' , где  N' - мощность, которую развивала бы машина при отсутствии трения в её деталях (полная мощность), а  {\Delta} N' - часть мощности, необходимая на преодоление сил трения в деталях машины во время её работы.

Определение 8. Отношение полезной мощности  N к полной мощности  N' называют коэффициентом полезного действия \eta (сокращённо - КПД) машины или механизма:  \eta = \frac {N}{N'} (9)

КПД принято выражать в процентах (%), для чего следует домножить выражение (9) справа на 100%.

ПРИМЕР 19. Электровоз движется со скоростью 54 км/ч. При этом двигатель электровоза развивает мощность 600 кВт. Чему равна сила тяги электровоза, если его КПД равен 75%?

РЕШЕНИЕ. По определению 8 КПД равен : \eta = \frac {N}{N'} . Полезная мощность равна  N = F v, где F - искомая сила тяги (в данном случае это сила трения колёс электровоза о рельсы),  v - скорость электровоза. Векторы  \stackrel{\rightarrow}{F} и  \stackrel{\rightarrow}{v} сонаправлены. Полная мощность двигателя электровоза по условию равна  N' = 600 кВт. Часть мощности, равная N'-N расходуется на преодоление сил трения в деталях конструкции электровоза. Таким образом  \eta = \frac {F v}{N'}

Откуда  F = \frac {\eta N'}{v} = \frac {0.75 \cdot {6 \cdot 10^5 Вт}}{15 м/с} = 30 кН

§6. Кинетическая энергия

Часто говорят о работе, которую совершает или может совершить над телом какое-либо другое тело. Здесь, во избежание недоразумений, надо понимать, что работу над телом совершает сила, действующая на него со стороны рассматриваемого другого тела.

Способность тела совершать работу характеризуют с помощью энергии.

Тело может обладать энергией вследствие

  • своего движения (кинетическая энергия),
  • взаимодействия с другими телами или (для системы тел и тела – не материальной точки) взаимодействия отдельных частей тела между собой (потенциальная энергия
  • вследствие хаотического движения и взаимодействия молекул внутри тела (внутренняя энергия).

Пусть на тело массы m действует постоянная сила  \stackrel{\rightarrow} {F} и тело движется прямолинейно с постоянным ускорением  \stackrel{\rightarrow}{a} вдоль линии действия силы (рис.17). Пусть за промежуток времени {\Delta} t   тело совершило перемещение {\Delta} \stackrel{\rightarrow}{s}, а его скорость изменилась от величины v_1 до величины v_2. При этом работа, совершённая силой  \stackrel{\rightarrow} {F} будет равна A = F {\Delta} s . Или с учётом второго закона Ньютона  A = m a {\Delta} s. Из кинематики известно, что при равноускоренном движении 2 a {\Delta} s = v_2^2 - v_1^2

Тогда работа A будет равна: A = \frac{m v_2^2} {2} - \frac{m v_1^2} {2}

Определение 9. Кинетической энергией K тела называется величина, равная половине произведения массы m тела на квадрат его скорости v : K = \frac{m v^2} {2} (10)

Таким образом можно записать, что {\Delta} K = A

Если на тело действуют несколько сил, тогда в правой части полученного уравнения будет стоять суммарная работа всех сил на указанном перемещении.

Обобщив сказанное выше, можно сформулировать теорему об изменении кинетической энергии тела: приращение кинетической энергии тела на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ всех сил, действующих на тело на том же перемещении  K_2 - K_1 = A

Это утверждение остаётся справедливым и в общем случае, когда переменные по величине и направлению силы действуют на криволинейном участке траектории. Заметим, что кинетическая энергия является скалярной величиной и в системе СИ измеряется (как и работа) в джоулях (Дж).

ПРИМЕР 20. По горизонтальной поверхности движется небольшой брусок массой  m = 0.5 кг. В некоторый момент времени его кинетическая энергия равна K = 1 Дж. Чему равна скорость бруска в этот момент?

РЕШЕНИЕ. По определению 9 кинетическая энергия тела равна K = \frac{m v^2} {2}.

Отсюда v = \sqrt{\frac {2 K}{m}} = 2 м/с

ПРИМЕР 21. Пуля массы m, летящая горизонтально, пробивает брусок массы M, лежащий на горизонтальной поверхности стола. При этом скорость пули уменьшается вдвое (рис. 18а). Чему равна начальная скорость пули, если брусок продвинулся по столу на расстояние s? Коэффициент трения бруска о поверхность стола равен \mu. Движение бруска поступательное.

РЕШЕНИЕ. Пусть U - начальная скорость движения бруска. На брусок действуют сила трения скольжения со стороны поверхности стола, сила тяжести и сила нормальной реакции опоры (рис. 18б). На пулю действует сила тяжести. При пролёте пули через брусок на неё дополнительно действует сила сопротивления движению со стороны бруска. Такая же по модулю сила действует и на брусок со стороны пули.

Рассматривая систему тел «пуля + брусок», видим, что силы взаимодействия пули с бруском являются внутренними. Остальные силы внешние и ограничены по величине. Кроме того, время пролёта пули через брусок мало. Таким образом импульс системы за этот промежуток времени сохраняется. В проекциях на ось 0х имеем: m v_0= m \frac{v_0} {2} + M U

При дальнейшем движении бруска по столу приращение кинетической энергии бруска равно {\Delta}K = K_2 - K_1  . Учитывая, что конечная кинетическая энергия K_2 бруска равна нулю (брусок остановился), а начальная K_1 = \frac{m U^2} {2}, получим: {\Delta} K = - \frac{m U^2} {2}

При движении бруска сила тяжести и сила нормальной реакции опоры работы не совершают (направлены перпендикулярно перемещению), а работа силы трения скольжения равна  A_т_р = - F_т_р s = -\mu N s = -\mu M g s . Таким образом по теореме об изменении кинетической энергии {\Delta} K = A_т_р , то есть - \frac{M U^2} {2} = - \mu M g s

Отсюда получаем, что v = \sqrt{2 \mu g s}, и после подстановки в уравнение закона сохранения импульса находим начальную скорость пули: v_0 = \frac{2 M}{m} \sqrt{2 \mu g s}

Кинетическая энергия системы тел равна алгебраической сумме кинетических энергий отдельных тел системы.

Для определения кинетической энергии твёрдого тела (не материальной точки) его следует мысленно разбить на множество маленьких частей, каждую из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела будет равна алгебраической сумме кинетических энергий этих материальных точек: K = \sum\limits^{}_{i} K_i = \sum\limits^{}_{i} \frac{m_i v_i^2} {2} (12)

В случае, когда  тело (или система) массы m движется поступательно, скорости \stackrel{\rightarrow}{v_i} составляющих его (или систему) материальных точек в каждый конкретный момент времени одинаковы и равны скорости \stackrel{\rightarrow}{v} поступательного движения центра масс тела (или системы). Тогда кинетическая энергия тела (системы) в каждый момент времени равна K = \sum\limits^{}_{i} K_i = \sum\limits^{}_{i} \frac{m_i v_i^2} {2} = \sum\limits^{}_{i} \frac{m_i v^2} {2} = \frac {v^2}{2} \sum\limits^{}_{i} m_i

Очевидно, что  \sum\limits^{}_{i} m_i = m . Следовательно, кинетическая энергия тела (системы тел) массой m при поступательном движении со скоростью v, равна K = \frac{m v^2} {2}

Если движение тела (системы) не поступательное, т.е. присутствует вращение, то для нахождения кинетической энергии тела (системы) приведённая формула неприменима и следует пользоваться общей формулой (12)!

Сказанное следует учитывать при решении задач. При этом следует также иметь в виду, что теорема об изменении кинетической энергии (11), сформулированная нами для тела, являющегося материальной точкой, остаётся справедливой и для системы тел, и для тел, не являющихся материальными точками. При этом под величиной A, стоящей в правой части (11), по-прежнему надо понимать работу всех сил, действующих на все тела системы. Именно всех сил, как внешних, так и внутренних!

ПРИМЕР 22. Обруч массы M катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью v(скорость центра обруча). Чему равна кинетическая энергия обруча?

РЕШЕНИЕ. Мысленно разобьём обруч на 2 N малых равных частей,  где N - некоторое большое число. Это позволит нам каждую часть обруча считать материальной точкой. При таком разбиении число частей будет чётным и каждой части найдётся диаметрально противоположная. Масса каждой части равна m = \frac {M}{2 N}

Найдём кинетическую энергию двух произвольных частей 1 и 2, лежащих на одном диаметре. Пусть \alpha  - угол, между этим диаметром и вертикалью (рис. 19). Применяя закон сложения скоростей и теорему косинусов найдём квадраты скоростей v_1 и v_2 этих частей обруча соответственно:

\begin{cases} v_1^2 = v^2 + v_в_p^2 + 2 v v_в_p \cos \alpha \ v_2^2 = v^2 + v_в_p^2 - 2 v v_в_p \cos \alpha \end{cases}

Суммарная кинетическая энергия пары этих частей равна K_n = \frac{m v_1^2} {2} + \frac{m v_2^2} {2} = m (v^2 + v_{вр}^2)

Видим, что она не зависит от угла \alpha   «ориентации» диаметра. Следовательно, кинетическая энергия любой пары диаметрально противоположных частей будет такой же. Таких пар у нас N штук.

Кинетическая энергия всего обруча будет равна сумме кинетических энергий его частей. В нашем случае эта сумма будет равна сумме кинетических энергий рассматриваемых пар. Тогда с учётом выражения для m имеем K = N K_n = N \frac {M}{2 N} (v^2 + v_{вр}^2) = \frac{m v^2} {2} + \frac{m v_{вр}^2} {2}

Поскольку обруч катится без проскальзывания, то скорость \stackrel{\rightarrow}{v_a} его нижней точки A равна нулю. С другой стороны по закону сложения скоростей эта скорость равна \stackrel{\rightarrow}{v_a} = \stackrel{\rightarrow}{v} + \stackrel{\rightarrow}{v_{вр}}  Следовательно \stackrel{\rightarrow}{v} + \stackrel{\rightarrow}{v_{вр}} = 0 и, значит, v = v_{вр}

Таким образом окончательно кинетическая энергия обруча равна K = M v^2

ПРИМЕР 23. С наклонной плоскости одновременно без начальных скоростей начинают соскальзывать брусок и скатываться без проскальзывания обруч. При каком коэффициенте трения скольжения между бруском и наклонной плоскостью оба тела будут двигаться, не обгоняя друг друга? Угол наклона плоскости к горизонту равен  \alpha.

РЕШЕНИЕ.  Из динамики известно, что ускорение a_1 бруска, скользящего по наклонной плоскости вниз, равно a_1 = g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha)

Пусть обруч скатывается с наклонной плоскости в течение времени t. За это время его центр масс пройдёт путь  l, равный длине наклонной плоскости. Пусть скорость центра масс обруча в конце этого пути равна v. Из кинематики известно, что l = \frac {a_2 t^2} {2}, v = a_2 ta_2- ускорение центра масс обруча).

Приращение кинетической энергии обруча за время t равно {\Delta}K = K_2 - K_1 . Поскольку K_1 = 0 (по условию), а K_2 = M v^2, то {\Delta}K = M v^2. С другой стороны по теореме об изменении кинетической энергии эта величина равна работе всех сил, действующих на обруч в течение времени  t. С учётом этого имеем: M v^2 = M g l \sin \alpha, где M g l \sin \alpha- работа силы тяжести (покажите это самостоятельно). Сила нормальной реакции опоры работы не совершает, так как направлена перпендикулярно перемещению центра масс обруча. Работа силы трения также равна нулю, так как обруч катится без проскальзывания и, следовательно, в каждый момент времени скорость точки касания обруча с наклонной плоскостью (точки приложения силы трения) равна нулю. Учитывая кинематические уравнения, найдём  a_2 = \frac {g}{2} \sin \alpha

Тела не будут обгонять друг друга, если  a_1 = a_2. Отсюда \mu = \frac {1}{2} \tg \alpha

§7. Потенциальная энергия

Область пространства, в каждой точке которой на помещённое туда тело действует некоторая определённая сила, называется силовым полем.

В формулировке теоремы об изменении кинетической энергии тела не содержится каких-либо ограничений на характер действующих сил. Тело может находиться в поле любых сил.

Вместе с тем силы, действующие на тело, могут различаться по своей природе и свойствам. В механике сложилось, в частности, разделение сил на консервативные и неконсервативные.

Консервативными (потенциальными) называются силы, работа которых не зависит о формы траектории движения тела, а определяется лишь начальным и конечным его положением.

Такими силами являются, например, сила тяжести и сила упругости пружины.

ПРИМЕР 24. Небольшое тело массы m может переместиться из точки A в точку B по двум горкам различного профиля (рис. 20а). Чему равна работа силы тяжести тела в обоих случаях? Точки A и B расположены над поверхностью земли на высотах h_1 и h_2  соответственно.

РЕШЕНИЕ.Рассмотрим движение тела по траектории I, представляющей собой отрезок АВ. Сила тяжести направлена вертикально вниз и составляет некоторый (постоянный) угол \alpha_1 с отрезком АВ (направлением перемещения тела) (рис. 20б).  Пусть длина отрезка АВ равна l_1.По определению работа силы тяжести в этом случае будет равна: A_1 = m g l_1 \cos \alpha_1. Но l_1 \cos \alpha_1 = h_1 - h_2 и, следовательно, A_1 = m g (h_1 - h_2) = mgh_1 - m g h_2

В случае движения тела по траектории II мы имеем дело с двумя отрезками пути АС и СВ(рис. 20в). Пусть отрезок АС составляет угол \alpha' с направлением силы тяжести. Тогда, положив длину этого отрезка, равной l', для работы силы тяжести на этом участке траектории имеем: A' = m g l' \cos \alpha' = m g (h_1 - h) = m g h_1 - m g h  , где h - высота точки C над поверхностью земли.  Аналогично, работа силы тяжести на участке ВС длиной l''   равна A'' = m g l'' \cos \alpha'' = m g (h - h_2) = m g h - m g h_2 , где \alpha'' - угол между отрезком B C и направлением силы тяжести. Работа a_2 силы тяжести на всей траектории II  будет равна сумме работ на каждом из участков траектории, т.е. A_2 = A' + A'' = (m g h_1 - m g h) + (m g h - m g h_2). Таким образом: A_2 = m g h_1 - m g h_2

Видим, что работы силы тяжести в обоих случаях равны и не зависят от формы траектории движения тела, а определяются лишь начальным и конечным положениями тела, а именно – их высотами h_1 и h_2 соответственно.

Неконсервативными (непотенциальными) силами называются силы, работа которых зависит от формы траектории движения тела (пройденного телом пути).

Неконсервативными являются, например, сила трения скольжения, силы сопротивления воздуха или жидкости (силы, зависящие от скорости тела) и т.п.

ПРИМЕР 25. В условиях предыдущего примера определите работу силы трения в обоих случаях, если коэффициенты трения на участках  АС и СВ траектории II одинаковы и равны коэффициенту трения \mu на участке АВ траектории  I. Высота точка С над поверхностью земли равна h, углы, которые составляют с горизонтом участки АВ, АС и СВ траекторий I и  II  считать известными.

РЕШЕНИЕ. При движении тела по траектории   I   (отрезок АВ) работа силы трения скольжения равна A_1 = -F_{тр1} l_1 = - \mu N_1 l_1 = - \mu m g \cos \alpha_1 l_1 = -\mu m g (h_1 - h_2) \ctg \alpha_1, где l_1 - длина отрезка АВ, \alpha - угол наклона поверхности горки к горизонту (рис. 21а). Знак «минус» возник из-за того, что направление силы трения составляет угол \pi    с направлением движения, а \cos \pi = -1.

Аналогично при движении тела по траектории   II    (отрезки АС и СВ) суммарная работа силы трения будет равна (рис. 21б) A_2 = A' + A'' = -F_т_р' l' -F_{тр}'' l'' = - \mu N' l' - \mu N'' l'' = - \mu m g \{ (h_1 - h) \ctg \alpha' + (h-h_2) \ctg \alpha'' \},

где l' и l''- длина отрезков АС и ВС, а \alpha' и \alpha'' - углы, составляемые этими отрезками с горизонтом.

Видим, что A_1 = A_2 . Работы силы трения определяются длинами путей, пройденных телом, а они в разных случаях – разные.

В общем случае работа консервативной силы может быть представлена как убыль некоторой величины П, которую называют потенциальной энергией тела в поле этой консервативной силы: A = П_1 - П_2(13)

(Убыль величины отличается от приращения этой величины знаком:П_1 - П_2 = -{\Delta} П)

Так в случае с силой тяжести её работа над телом равна убыли величины m g h, зависящей от массы тела и от высоты, на которой оно находится (см. Пример 24): A_{тяж} = mgh_1 - mgh_2

 Следовательно, потенциальная энергия тела массы m, находящегося в поле силы тяжести на высоте h равна П = m g h.

Можно показать, что работа силы упругости пружины над телом определяется убылью величины \frac {k x^2}{2}, зависящей от коэффициента упругости k пружины и от её деформации x: A_{упр} = \frac {k x_1^2}{2} - \frac {k x_2^2}{2}

Значит, потенциальная энергия тела в поле упругой силы деформированной пружины равна П = \frac {k x^2}{2}. Заметьте, она не зависит от массы тела и определяется только параметрами пружины (k и x). Часто, поэтому, даже саму величину  \frac {k x^2}{2} в обиходе называют потенциальной энергией пружины (а не тела).

Для работы неконсервативных сил (трения, сопротивления и др.) равенство (13) несправедливо и понятие потенциальной энергии тела в поле неконсервативных сил не вводится!

Потенциальная энергия П тела уравнением (13) определяется неоднозначно. К ней можно добавить (или вычесть) любую постоянную и от этого работа A соответствующей консервативной силы не изменится, так как не изменится разность значений потенциальной энергии П_1 - П_2. Иными словами, остаётся неопределённым нулевой уровень, от которого «отсчитывается» потенциальная энергия. Например, в случае с телом, поднятым с поверхности земли на некоторую высоту, нулевым уровнем можно считать и поверхность земли, и дно расположенного вблизи оврага и уровень высоты кустарника, растущего вдоль берега оврага и т.п. Следовательно, при решении задач необходимо сначала выбрать нулевой уровень и затем, сохраняя его неизменным в процессе решения, отсчитывать от него потенциальную энергию тела, на которое действует соответствующая консервативная сила.

При определении потенциальной энергии поднятого над землёй тела в поле силы тяжести за нулевой уровень обычно принимается поверхность земли.

Для тела, находящегося в поле силы упругости деформированной пружины, обычно считается, что его потенциальная энергия равна нулю в положении, когда пружина не деформирована.

Исходя из сказанного, потенциальную энергию тела, находящегося в поле консервативной силы, можно определить следующим образом. Выберем положение тела, в котором будем считать его потенциальную энергию равной нулю (т.е. выберем нулевой уровень). Тогда потенциальной энергией тела в некоторой произвольной точке поля будем называть величину, равную работе, которую может совершить консервативная сила над телом, если тело переместится из этой точки в точку с нулевой потенциальной энергией.

§8. Закон сохранения механической энергии тела. Столкновения.

Пусть на тело действуют несколько сил, например – две, как показано на  рис. 22. Пусть, кроме того, сила \stackrel{\rightarrow}{F_1} является консервативной, а сила \stackrel{\rightarrow}{F_2} - неконсервативная. Тогда работа A силы  \stackrel{\rightarrow}{F_1} равна убыли потенциальной энергии тела: A = П_1 - П_2. С другой стороны, согласно теореме об изменении кинетической энергии, приращение кинетической энергии тела равно суммарной работе обеих сил: K_2 - K_1 = П_1 - П_2 +A_2, где  A_2 - работа неконсервативной силы \stackrel{\rightarrow}{F_2}.

Перенесём слагаемые с потенциальной энергией в левую часть уравнения и сгруппируем их с соответствующими кинетическими энергиями: (K_2 + П_2) - (K_1 + П_1) = A_2

Определение 10. Физическую величину, равную сумме кинетической и потенциальной энергий тела называют механической энергией телаE : E = K + П

Учитывая это определение в рассматриваемом случае, имеем: E_2 - E_1 = A_2, где E_1 и E_2 - начальное и конечное значения механической энергии тела соответственно.

В общем случае на тело могут действовать несколько неконсервативных сил. Тогда в правой части полученного уравнения будет стоять суммарная работа этих сил. С учётом этого можно утверждать, что приращение механической энергии тела равно суммарной работе A_{неконс} всех неконсервативных сил, действующих на тело в процессе его движения: E_2 - E_1 = A_{неконс}(14)

Если A_{неконс}>0, то механическая энергия тела увеличивается, если A_{неконс}<0, то – уменьшается.

ПРИМЕР 26. Тело массы m=0.5 кг  бросили с начальной скоростью  v_0 = 25 м/с под углом к горизонту с обрыва высотой h = 30 м над поверхностью воды в реке. Какую работу совершила сила сопротивления воздуха за время полёта тела, если непосредственно перед падением в воду скорость тела была равна v = 30 м/с?

РЕШЕНИЕ. В процессе падения на тело действуют две силы: сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Первая сила консервативная, вторая – нет. Приращение механической энергии тела за время полёта равно: E_2 - E_1 = \frac{m v^2} {2} -(\frac{m v_0^2} {2} + m g h)

С другой стороны, согласно (14), это приращение равно искомой работе  неконсервативной силы сопротивления воздуха: A_{сопр} = \frac{m v^2} {2} -(\frac{m v_0^2} {2} + m g h) = \frac{m (v^2 - v_0^2)} {2} - mgh

Подставляя в полученное уравнение численные значения величин, найдём: A_{сопр} \approx - 81 Дж

Интересно, что полученная величина в общем случае может оказаться не только отрицательной, но и положительной. Это зависит, например, от наличия и характера ветра в процессе падения тела.

Среди всевозможных неконсервативных сил силы трения (сопротивления)  совершают, как правило, отрицательную работу (не всегда!). В этом случае механическая энергия тела в процессе движения уменьшается. Одновременно, как известно, работа сил трения производит нагревание трущихся тел. Часть механической энергии тела переходит в тепловую (внутреннюю) энергию движения молекул, составляющих тела, то есть выделяется некоторое количество теплоты Q. Это количество теплоты равно по модулю работе сил трения и, следовательно, убыли  механической энергии тела (при отсутствии иных неконсервативных сил).

ПРИМЕР 27. Камень массой  m=1 кг бросили вертикально вниз   с  высоты H = 30 м и углубляется в песок на глубину l = 0.1 м(рис. 23). Какое количество теплоты выделится при движении камня в песке до полной остановки? Начальная скорость камня равна v_0 = 14 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

РЕШЕНИЕ. В процессе движения на камень действует консервативная сила  тяжести. При попадании камня в песок к ней добавляется неконсервативная сила сопротивления со стороны песка. Согласно (14) её работа равна приращению механической энергии камня в процессе всего движения.

Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии камня по самому нижнему положению камня, в точке его остановки (положение 2 на рис. 23). Обратите внимание – не на поверхности земли. Тогда в начальный момент (положение 1 на рис. 23) механическая энергия тела равна  E_1 = \frac{m v_0^2} {2} + m g (H + l)

В конечный момент (момент остановки) кинетическая и потенциальная энергии тела равны нулю, следовательно E_2 = 0.

В свою очередь работа A_c силы сопротивления со стороны песка будет отрицательной (сила направлена в сторону, противоположную движению камня) и по модулю равной искомому количеству теплоты, т.е. Q = - A_c. Тогда E_2 - E_1 = -Q и, следовательно, E_1 - E_2 = Q. С учётом выражений для E_1 и  E_2 , получим: Q = m(\frac {v_0^2}{2} +g(H+l)) \approx 393 Дж

Если же неконсервативные силы на тело не действуют или действуют, но таковы, что их суммарная работа равна нулю, то и приращение механической энергии равно нулю. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения механической энергии тела: Если неконсервативные силы на тело не действуют или таковы, что не совершают работы в течение интересующего нас времени, то механическая энергия тела остаётся постоянной за это время: E = K + П = const

Заметим, что здесь речь идёт о сохранении именно суммы кинетической и потенциальной энергии тела. Сами же эти энергии могут изменяться по отдельности. Однако эти изменения происходят так, что приращение одной из них в точности равно убыли другой. Иными словами имеют место взаимные превращения кинетической и потенциальной энергий тела. Энергия не исчезает и не возникает вновь, она переходит из одного вида в другой. Потенциальная энергия может переходить в кинетическую (например, при свободном падении тела), кинетическая – в потенциальную (прогибание батута при прыжках гимнаста), потенциальная энергия одного вида – в потенциальную энергию другого (взвешивание на пружинных весах, когда потенциальная энергия груза в поле тяжести напрямую переходит в потенциальную энергию груза в поле упругих сил). Во всех этих случаях механическая энергия тела остаётся постоянной.

ПРИМЕР 28. Лёгкая пружина жёсткости k и длины l стоит вертикально на горизонтальной поверхности стола. С высоты H над столом без начальной скорости на пружину падает шарик массой m(рис. 24). Определите максимальную силу упругости пружины в процессе взаимодействия с шариком. Сопротивлением воздуха пренебречь.

РЕШЕНИЕ. При свободном падении шарика его потенциальная энергия в поле тяжести переходит в кинетическую энергию движения (скорость шарика увеличивается по мере уменьшения высоты шарика над столом) вплоть до момента касания шариком пружины. Далее по мере сжатия пружины кинетическая энергия шарика и его потенциальная энергия в поле тяжести переходят в потенциальную энергию шарика в поле силы упругости пружины (сила упругости пружины возрастает за счёт уменьшения скорости шарика и его высоты над столом). Когда скорость  шарика обратится в ноль, сила упругости достигнет своего максимального значения. Поскольку на шарик в течение всего времени движения действуют только консервативные силы, то механическая энергия шарика сохраняется:E_1 = E_2. Пусть в момент максимального сжатия длина пружины равна l_1(рис. 25). Тогда по закону сохранения механической энергии m g H = m g l_1 + \frac {k(l - l_1)^2}{2}

Выразив отсюда l_1, для максимальной силы упругости пружины получаем: F_{max} = k(l - l_1) = k \frac{m g}{k} (1 + \sqrt{1+\frac {2k}{mg}(H - l)})

Таким образом, F_{max}= m g(1 + \sqrt{1+\frac {2k}{mg}(H - l)})

ПРИМЕР 29. Два груза массой m каждый связаны нитью. Между грузами вставлена лёгкая упругая пружина, сжатая на величину x. Система движется со скоростью \stackrel{\rightarrow}{v} вдоль прямой, перпендикулярной оси системы (рис. 26а). Нить пережигают и грузы разлетаются под углом  \alpha = 90^\circ. Найти коэффициент упругости пружины. (МФТИ, 1992 г.)

РЕШЕНИЕ. В системе отсчёта, связанной с центром масс системы и движущейся в ту же сторону со скоростью  \stackrel{\rightarrow}{v}, грузы до пережигания нити покоятся, а после пережигания – разлетаются с одинаковыми скоростями  v_1 в противоположных направлениях (по закону сохранения импульса системы тел). Таким образом потенциальная энергия тел в поле упругих сил переходит в кинетическую энергию тел. Так как в неподвижной системе отсчёта угол разлёта грузов равен  90^\circ, то легко установить (рис. 26б), что v_1 = v.

Пользуясь тем, что на систему тел не действуют неконсервативные силы, запишем закон сохранения механической энергии в системе отсчёта, связанной с центром масс: \frac{k x^2} {2} = 2 \frac{m v_1^2} {2}

Учитывая равенство модулей скоростей  v и v_1, отсюда найдём k = \frac{2 m v^2} {x^2}.

Взаимодействия тел, изучаемые в механике, отличаются большим разнообразием. Одним из частных случаев таких взаимодействий являются столкновения тел. Среди них выделяют так называемые упругие и неупругие столкновения. Здесь мы будем называть столкновения тел, при которых сохраняется суммарная механическая энергия тел, абсолютно упругими (или просто упругими). Так, например, в большинстве случаев можно считать абсолютно упругим центральное столкновение гладких стальных шаров.

Столкновения, при которых изменяется суммарная механическая энергия взаимодействующих тел, будем называть неупругими. Изменение механической энергии при таких столкновениях характеризуется, как правило, её убылью и сопровождается, например, выделением теплоты. Причём количество выделившейся теплоты в точности равно убыли суммарной механической энергии сталкивающихся тел. Если тела после столкновения движутся как единое целое (с одинаковыми по модулю и направлению скоростями), то такое столкновение будем называть абсолютно неупругим.

Кроме того, если на тела не действуют внешние силы или они ограничены по модулю, то импульс системы тел при столкновениях сохраняется, так как время столкновения, как правило, очень мало.

ПРИМЕР 30. Шар массой  m_1 движется прямолинейно и налетает на покоящийся шар массой m_2(рис. 27). Линия движения первого шара проходит через центы обоих шаров. При каком соотношении масс m_1 и m_2, шары после абсолютно упругого столкновения будут иметь одинаковые импульсы? Шары не вращаются.

РЕШЕНИЕ. Если скорости шаров (в данном случае первого шара) до удара направлены вдоль прямой, проходящей через их центры, то такой удар называется центральным. А эта прямая – линией центров.

Будем считать систему из двух шаров замкнутой. При упругом столкновении шаров их суммарная кинетическая энергия сохраняется. При решении задачи кинетическую энергию каждого шара удобнее представить в виде: K_i = \frac {(\stackrel{\rightarrow}{p_i})^2}{2 m_i}, где  \stackrel{\rightarrow}{p_i} - импульс шара массой  m_i. (Вы можете легко убедиться самостоятельно в эквивалентности двух выражений для кинетической энергии тела: K = \frac{m v^2} {2} и  K = \frac{p^2} {2 m}).

Пусть  \stackrel{\rightarrow}{p_1} начальный импульс (до столкновения) шара массы m_1. Тогда после столкновения каждый шар будет иметь импульс \frac{1}{2} \stackrel{\rightarrow}{p_1}. С учётом этого имеем уравнение: \frac{p_1^2}{2 m_1} = \frac{(\frac{1}{2} p_1)^2}{2 m_1} + \frac{(\frac{1}{2} p_1)^2}{2 m_2}

Из которого следует, что  \frac{m_1}{m_2} = 3.

ПРИМЕР 31. Гладкий шар, движущийся со скоростью \stackrel{\rightarrow}{v_0}, налетает на такой же покоящийся шар, как показано на рис. 28а. Определите скорости шаров после упругого столкновения.

РЕШЕНИЕ. Поскольку скорость первого шара до соударения была направлена не по линии центров шаров, то столкновение шаров – нецентральное. Направим ось 0х по линии центров шаров в момент их столкновения. Ось 0у - перпендикулярно к ней (рис. 28б). Систему будем считать замкнутой.

Поскольку шары гладкие, то покоящийся шар после столкновения полетит только в направлении оси 0х. Пусть \stackrel{\rightarrow}{v_2} -скорость этого шара, а \stackrel{\rightarrow}{v_1} - скорость первого шара после столкновения. Пусть проекции скорости \stackrel{\rightarrow}{v_1}  на оси координат равны  v_1_x и v_1_y соответственно ( v_1 = \sqrt{v_1_x^2 + v_1_y^2}_x). Поскольку импульс системы шаров при столкновении сохраняется, то в проекциях на выбранные оси координат имеем:

\begin{cases} m v_0 \cos \alpha = m v_1_x + m v_2 \ m v_0 \sin \alpha = m v_1_y \end{cases}

Поскольку столкновение упругое, то суммарная механическая энергия шаров не изменяется: \frac{m v_0^2} {2} = \frac {m(v_1_x^2 + v_1_y^2)}{2} + \frac{m v_2^2} {2}

Решая полученную систему уравнений, находим: v_1= v_0 \sin \alpha, v_2= v_0 \cos \alpha, (v_1_x = 0, v_1_y = v_0 \sin \alpha)

 Из геометрии рисунка 28б следует, что  \sin \alpha  = \frac {R}{2R} = \frac {1}{2}   \Rightarrow   \alpha = 30^\circ

С учётом этого окончательно имеем: v_1 = \frac{1}{2}v_0, v_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}v_0

ПРИМЕР 32. Шар массой m_1, движущийся со скоростью \stackrel{\rightarrow}{v}, налетает на покоящийся шар массы m_2. Определить скорости шаров и количество Q выделившейся теплоты после центрального абсолютно неупругого столкновения.

РЕШЕНИЕ. Поскольку столкновение шаров абсолютно неупругое, то после него шары будут двигаться как одно целое с некоторой скоростью \stackrel{\rightarrow}{v_1}(рис. 29). Направим ось 0х вдоль линии центров шаров в сторону движения.

Поскольку импульс системы шаров сохраняется, то в проекциях на ось 0х имеем: m_1 v = (m_1 + m_2) v_1

Убыль суммарной механической энергии шаров равна количеству теплоты Q, выделившейся при столкновении:  \frac{m_1 v^2} {2} - \frac{(m_1+m_2) v_1^2} {2} = Q

Решая полученную систему уравнений, найдём: v_1 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v и Q = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac {v^2}{2}

ПРИМЕР 33. Лёгкий пластилиновый шарик массы m летит со скоростью \stackrel{\rightarrow}{v} и сталкивается с массивной плитой, движущейся навстречу шарику со скоростью \stackrel{\rightarrow}{u}

Какое количество теплоты выделится при абсолютно неупругом столкновении шарика с плитой? Массу плиты считать много большей массы шарика ( M>>m).

РЕШЕНИЕ. 1-й способ решения.

Пусть M - масса плиты, \stackrel{\rightarrow}{u_1} - совместная скорость плиты с шариком после столкновения. Направим ось 0х в сторону движения плиты, как показано на рис. 30. Считая, что после столкновения плита с шариком движутся в том же направлении, в котором двигалась плита до столкновения, по закону сохранения импульса можно записать в проекциях на ось 0х уравнение: M u - m v = (M + m) u_1

Убыль суммарной механической энергии плиты и шарика равна искомому количеству теплоты Q:  \frac{M u^2} {2} + \frac{m v^2} {2} - \frac{(m + M) u_1^2} {2} = Q

Решая полученную систему уравнений, найдём Q = \frac{m (u + v)^2} {2} \frac {1}{1 + \frac{m}{M}} (убедитесь в этом самостоятельно).

Учитывая, что по условию M>>m, имеем \frac {m}{M}>>1.

Пренебрегая столь малым по сравнению с единицей отношением масс в знаменателе, получаем окончательно   Q = \frac{m (u + v)^2} {2}.


2-й способ решения.

Обратимся к записанному в предыдущем способе решения уравнению закона сохранения импульса и выразим из него скорость u_1 совместного движения плиты с шариком после столкновения: u_1 = \frac{Mu - mv}{M+m}

Преобразуем это выражение следующим образом: u_1 = \frac{M}{M+m} - \frac {m}{M+m} v = \frac {M}{M(1+\frac {m}{M})} u -\frac {m}{M(1+\frac {m}{M})} v == \frac {1}{1+\frac{m}{M}} u - \frac {\frac {m}{M}}{1+\frac{m}{M}} v

Учитывая, что по условию M>>m, пренебрежём отношением \frac {m}{M} по сравнению с единицей. Тогда получим u_1 \approx u. Таким образом, скорость плиты можно считать практически неизменной. И чем больше масса M по сравнению с  m, тем точнее будет это приблизительное равенство. Тогда, считая скорость массивной плиты неизменной, перейдём в систему отсчёта, связанную с плитой. В этой системе отсчёта плита покоится, а шарик до столкновения движется навстречу плите со скоростью v + u. Следовательно, перед столкновением его кинетическая энергия равна K = \frac{m (v + u)^2} {2}

После столкновения в выбранной системе отсчёта плита и шарик покоятся, их суммарная механическая энергия равна нулю. Убыль механической энергии системы равна искомому количеству теплоты: Q = \frac{m (v + u)^2} {2}


Источник: http://mipt-bot.narod.ru/impulse.html


Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:



Импульс тела, силы. Изменение и направление вектора, единицы измерения Техника вышивки на сетке

Как работа связана с импульсом Как работа связана с импульсом Как работа связана с импульсом Как работа связана с импульсом Как работа связана с импульсом Как работа связана с импульсом Как работа связана с импульсом Как работа связана с импульсом

ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ